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| Criptografia Basica |
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Autor: Dimitri Vashnov
Email: dimitrivashnov@yahoo.com.br
0. Introducao
Tenho buscado ao longo dos anos textos sobre criptografia,
e verifiquei que o assunto ainda eh muito restrito, existem
poucos textos sobre o assunto, principalmente em portugues.
Busquei tambem programas que utilizam criptografia, e o que
tenho verificado eh que os americanos nao desejam que o resto
do mundo adote criptografia (principalmente a forte) ou que
tenhamos sempre uma criptografia mais fraca que a deles. Eh
impressionante como os clientes FTP de hoje em dia ainda
nao adotam criptografia por padrao. Impressionante tambem
eh saber que essa criptografia fraca que usamos eh mesmo que
nada, pois quem possui um supercomputador pode quebra-la
facilmente, alem de existir tecnicas como Man In The Middle,
que poem abaixo um conceito que ateh entao nos enganava.
A solucao eh criarmos nos mesmos, hackers fora do eixo
EUA-CANADA, nossas proprias solucoes em criptografia. Este
texto objetiva isso: ajuda-lo a entender a criptografia,
afinal, hackers tem de se defender contra agentes da matrix.
A leitura deste texto nao exige muito sobre programacao,
jah que o objetivo eh passar a base dos conceitos. Para quem
quer se aprofundar, aprender matematica bem avancada eh muito
importante.
1. Funcoes
Aqui quando nos referimos a funcao, estamos na verdade nos
referindo a uma funcao matematica, definida por 2 conjuntos
e uma regra que associa cada elemento do primeiro conjunto
a algum elemento do segundo. Nosso interesse nao eh dar aqui
o embasamento matematico necessario para a leitura deste
texto, acho que qualquer livro de matematica do 2º grau
explica muito bem este topico. Com isso, podemos analisar
funcoes que podem nos ajudar nessa tarefa de criptografar dados.
1.1 Funcoes 1-way
Funcoes 1-way (via unica) sao aquelas no qual dado x, eh
facil achar f(x)=y, mas que dado y, torna-se razoavelmente
dificil, para os padroes computacionais atuais, obter x
tal que f(x)=y.
Um exemplo de funcao 1-way eh um produto de numeros primos.
Se dado a e b primos, calcular f(a,b)=a*b=c eh facil, mas no
entanto, fatorar c em produtos de primos eh uma tarefa bem
mais dificil. Eh exatamente nesta dificuldade que se baseiam
as criptografias de chave publica.
Funcoes 1-way com chave secreta sao as Funcoes 1-way nas quais
se dado y e for fornecido alguma informacao secreta, torna-se
facil obter x tal que f(x)=y. Seria uma especie de informacao
que torna a 'volta' mais facil. O exemplo acima eh uma funcao
1-way com chave secreta (em ingles chamam de trapdoor 1-way
function, mas resolvi traduzir assim por fazer mais sentido).
1.2. Permutacoes
Uma permutacao eh uma bijecao de um conjunto em si mesmo.
Ex.:
(1,2,3,4,5) -> (4,3,5,1,2)
| | | | '------|-|-|-|-'
| | | '--------|-|-|-'
| | '----------|-|-'
| '------------|-'
'--------------'
p = / 1,2,3,4,5 \
\ 4,3,5,1,2 /
p(1)=4,p(2)=3, ...
Como uma permutacao eh uma bijecao, entao sempre temos
uma permutacao inversa. Isso faz da permutacao uma pessima
opcao de criptografia.
p^-1 = / 1,2,3,4,5 \
\ 4,5,2,1,3 /
3. Conceitos Basicos
Chamaremos de mensagem a informacao que desejamos criptografar,
e mensagem cifrada a mensagem jah criptografada. Utilizaremos
tambem os conceitos de chaves. Uma chave define uma bijecao. Com
isso podemos definir chaves de encriptacao, que gera uma
funcao de criptografia, e chaves de desencriptacao, que geram
funcoes inversas para as funcoes de criptografia. Mas nem
sempre eh do nosso interesse que haja uma chave de desencriptacao.
A criptografia deve satisfazer as necessidades para as quais
venham a ser projetadas. Se nosso objetivo eh, por exemplo,
armazenar um arquivo de senhas num computador, entao devemos
criar uma criptografia que torne a funcao inversa quase
impossivel, ou seja, que permita a encriptacao e a verificacao
das cifras e que nao permita a desencriptacao, e assim soh
forca bruta seria capaz de quebrar tal criptografia.
Se o objetivo, porem, eh criptografar um arquivo de forma que
voce possa ter acesso a mensagem original, entao voce deve
ter algum meio que possa desencriptar a cifra, talvez por
meio de alguma chave de desencriptacao (que deve ser secreta).
Se voce tem acesso a qualquer uma das chaves, ainda assim eh
possivel quebrar a criptografia. Com a chave de encriptacao,
podemos quebrar via forca bruta (ou entao tentar descobrir
a chave de desencriptacao com ela). Com a chave de desencriptacao,
a tarefa torna-se trivial.
Um esquema basico de criptografia simples seria o seguinte:
1- Emissor criptografa a mensagem com uma chave e, de encriptacao.
2- A mensagem cifrada eh enviada pelo meio de comunicacao (inseguro).
3- A mensagem chega ao Receptor, que utiliza sua chave d, de
desencriptacao, e assim le a mensagem.
Se as duas chaves 'e' e 'd' sao iguais, entao a criptografia eh
dita simetrica. Geralmente sao as mais fracas.
Se as duas chaves 'e' e 'd' sao diferentes, entao a criptografia
eh assimetrica.
Um exemplo de assimetria eh a da chave publica. A chave 'e'
eh de conhecimento publico, e a chave 'd' eh privada, de
conhecimento somente do receptor. A chave RSA eh um exemplo disso,
no qual a chave d eh gerada, consistindo de dois (ou mais) numeros
primos imensos (de centenas de digitos) e a chave e eh gerada
pelo produto desses numeros. Como obter d apartir de e eh muito
dificil (ou pelo menos acredita-se e espera-se ser), entao e
eh distribuida.
4. Criptografia Simetrica
Como vimos no topico anterior, a criptografia simetrica baseia-se
apenas numa chave unica, para encriptar e desencriptar. Como as
chaves sao as mesmas, a funcao serah uma bijecao.
Se o objetivo eh encriptar, a chave gera uma bijecao p,
e se o objetivo eh desencriptar, a mesma chave gera uma bijecao
inversa de p, digamos q.
Ex.:
p = / A,B,C,D,E,F,G,L,H,R,S,T,U \
\ F,T,U,A,L,S,R,H,B,E,C,G,D /
Inversa de p = / A,B,C,D,E,F,G,L,H,R,S,T,U \
\ D,H,S,U,R,A,T,E,L,G,F,B,C /
p(UNSEKURITY) = DNCLKDEIGY (criptografando com p)
p(DNCLKDEIGY) = UNSEKURITY (desencriptografando com p^-1)
O problema eh que a chave unica deve ser transmitida por um meio
seguro, e com isso, torna-se inviavel seu uso pela internet, que
eh um meio inseguro de transmissao. O meio mais seguro eh fisicamente,
e mesmo assim, eh facil quebrar uma criptografia de chave simetrica.
Existem 2 tipos de criptografia simetrica a serem estudados aqui:
cifras de bloco e cifras de cadeia.
4.1 Cifragem de Bloco (Block Ciphers)
Neste esquema, a mensagem eh dividida em blocos de tamanho fixo t e
encripta-se um bloco por vez, independentemente dos demais. Eh o
tipo mais famoso de criptografia simetrica. O exemplo anterior,
no qual encriptamos a palavra UNSEKURITY, eh um exemplo. A mensagem
eh dividida em blocos de 8 bytes (caracteres) e cada bloco eh
encriptado individualmente, independente dos demais.
Dentro deste esquema de criptografia, verificamos ainda outros 2
subtipos: cifragem de substituicao e cifragem de transposicao.
Existem tambem cifragens que combinam estes 2 subtipos, gerando um
novo tipo, dito cifragem de produto.
4.1.1. Substituicao
Cifragem de substituicao sao aquelas nos quais fazemos substituicao
de certos simbolos (ocorrencia de certos caracteres, por exemplo)
por outros. Existem 3 metodos de substituicao:
a) Substituicao simples
Eh a substituicao que fazemos atraves de uma permutacao fixa p,
substituindo cada bloco por sua imagem atraves de p. A obtencao
da imagem atraves da cifra eh obtido com a inversa de p, que eh
facil de determinar.
Este tipo de criptografia prova-se inadequada, jah que por mais
dificil seja de obter a chave, uma simples observacao de ocorrencia
de cifras pode nos levar a chave, desde que disponhamos de uma
razoavel quantidade de texto cifrado. Por exemplo, sabendo que a
letra A ocorre em grande quantidade na nossa lingua, podemos ir
decifrando o texto sem grandes dificuldades.
b) Substituicao semi-aleatoria
Nesta substituicao, para cada bloco possivel x, definimos um conjunto
de blocos distintos A(x), e assim substituimos cada bloco x qualquer
por um elemento aleatoriamente escolhido do tal conjunto A(x).
Essa substituicao exige uma funcao injetiva B -> S(C) no qual um
elemento estah associado a um subconjunto de C, e que para quaisquer
dois elementos de B, as suas imagens (subconjuntos de C) sao disjuntos.
(S(C) eh o conjunto dos subconjuntos de C).
Ex.:
Suponha que o alfabeto da nossa mensagem seja composto apenas de vogais.
Assim definimos os conjuntos da seguinte maneira:
a -> { ei, io, eo, au }
e -> { ie, ou, oa, iu }
i -> { uo, ue, ao, oo }
o -> { uu, ae, aa, ia }
u -> { ai, ee, oe, ii }
Com isso nossa mensagem poderia ter varias possiveis cifras:
OIE -> AEAOIU ou UUUOOA
Deve-se frisar que os conjuntos devem ser disjuntos para nao haver
casos em que dois blocos diferentes tenham a mesma cifragem.
Com a substituicao aleatoria, o tamanho da cifra tende a aumentar, e
torna-se mais dificil a desencriptacao por analise de frequencias
de cifras.
c) Substituicao polialfabetica
Uma substituicao polialfabetica com blocos de tamanho t consiste
em criptografar cada bloco de tamanho 1 com uma permutacao distinta.
Com isso, definimos t permutacoes.
Assim, se o bloco eh de tamanho 3, definimos 3 permutacoes distintas.
Se o bloco eh "AAA" por exemplo, cada uma das permutacoes cada A
a uma minicifra distinta.
p1 = / A,E,I,O,U \
\ O,U,A,I,E /
p2 = / A,E,I,O,U \
\ E,O,U,A,I /
p3 = / A,E,I,O,U \
\ U,A,I,E,O /
Assim, o bloco "AAA" eh cifrado em p1(A)p2(A)p3(A) = "OEU".
A vantagem desta cifra sobre a substituicao simples eh que a
frequencia dos blocos nao eh preservada. Porem, isso nao dificulta
muito, jah que se descoberto o tamanho do bloco, as frequencias
dos elementos de mesma ordem num bloco sao preservadas.
4.1.2. Transposicao
A transposicao consiste na simples troca da ordem (ou permuta) de
simbolos em um mesmo bloco.
Ex.: UNSEKURITY -> YTIRUKESNU
Como a transposicao preserva a quantidade de simbolos de um mesmo
tipo, fica facil desencriptar.
4.1.3. Composicao de Cifras
Podemos compor as cifras de substituicao e de transposicao, jah que
cada uma individualmente nao confere muita seguranca a informacao.
Como uma substituicao ou transposicao podem ser postas em forma
matematica como funcoes, uma composicao seria exatamente uma
composicao destas funcoes, o que forneceria uma funcao unica para
criptografia.
Ex.:
Suponhamos novamente que nosso alfabeto seja composto somente de
vogais. Definimos assim a seguinte composicao:
1- Definimos um bloco como de tamanho 3.
2- Realizamos uma substituicao semi aleatoria como definida em 4.1.1 b)
3- Definimos agora o bloco com tamanho 6.
4- Utilizamos de transposicao, trocando o primeiro elemento do bloco
pelo ultimo e vice-versa.
Podemos continuar esse trabalho indefinidamente. A substituicao
adiciona um pouco de confusao e a transposicao adiciona uma difusao.
A confusao torna a relacao entre a mensagem e a mensagem cifrada
mais dificil de ser percebida, enquanto que a difusao se encarrega
de tornar qualquer redundancia da mensagem imperceptivel na
mensagem cifrada (lembra-se de regrinhas como antes de p e b só vem
m e nao n?).
4.2 Cifras em Cadeia (Stream Ciphers)
Cifras em cadeia sao importantes, jah que possibilitam que cada bloco
seja cifrado diferentemente. Os blocos continuam com tamanhos fixos t,
mas a cifragem de um determinado bloco depende da cifragem dos outros.
Ex.:
Consideremos nosso alfabeto outra vez como sendo as vogais, e
definamos uma operacao de acordo com a seguinte tabela:
@|A,E,I,O,U
A|E,I,O,U,A
E|I,O,U,A,E
I|O,U,A,E,I
O|U,A,E,I,O
U|A,E,I,O,U
Assim, A@A=E, I@U=I, E@O=A.
Com isso, definimos a mensagem como sendo "AIAAEUOOIIOEUUE".
Dividindo em blocos de 3, teremos "AIA","AEU","OOI","IOE","UUE".
O esquema seria entao o seguinte:
1- Com o primeiro bloco utilizamos uma substituicao simples,
definida por
p = / A,E,I,O,U \
\ U,O,A,E,I /
Assim, "AIA" -> "UAU"
2- Realizamos uma operacao @ entre UAU e o segundo bloco.
"UAU" @ "AEU" = "AIU". Esta eh a cifra do segundo bloco.
3- Realizamos uma operacao @ entre AIU e o terceiro bloco.
"AIU" @ "OOI" = "UEI". Esta eh a cifra do terceiro bloco.
4- Repetimos as operacoes @ entre a cifra do bloco anterior
e o bloco que queremos cifrar.
No fim, teremos:
"AIA" -> "UAU"
"AEU" -> "AIU"
"OOI" -> "UEI"
"IOE" -> "IAU"
"UUE" -> "IAE"
Dai "AIAAEUOOIIOEUUE" -> "UAUAIUUEIIAUIAE"
Como voce pode ver, este metodo eh bem falho, mas quisemos
apenas ilustrar no que consiste uma cifragem em cadeia.
5. Criptografia Assimetrica de Chave Publica (Public Key)
A criptografia de chave publica consiste num esquema que
se baseia em 2 chaves: uma para encriptar (e) e outra
para desencriptar (d). A chave de encriptacao define uma
funcao f(x) 1-way no qual eh computacionalmente inviavel
dado y, descobrir x tal que f(x)=y. A chave de desencriptacao
define uma funcao que torna facil a tarefa de descobrir
x tal que f(x)=y, dado y. Assim, d eh a informacao
necessaria para tornar a desencriptacao viavel, em curto
espaco de tempo e sem muita demanda de recursos.
A chave e eh tornada de conhecimento publico, enquanto
que a chave d eh privada, ficando de conhecimento apenas
do receptor.
Com isso, uma comunicacao atraves de um canal inseguro
torna-se mais segura. Se voce deseja enviar uma mensagem
para um outro computador, voce pede a ele que forneca
a chave publica, voce entao encripta sua mensagem com
esta chave publica e envia a mensagem cifrada, e quando
tiver recebido tal mensagem cifrada, o computador receptor
desencripta a informacao usando sua chave privada.
Este mecanismo de chave publica, no entanto, apesar de
parecer agradavel, ainda pode ser ineficaz caso um
terceiro computador se passe pelo receptor perante o
emissor e se passe pelo emissor perante o receptor. Este
ataque eh conhecido como 'Man-In-The-Middle', ou
"Atravessador".
O esquema funciona da seguinte maneira:
1-O emissor pede a chave publica do receptor.
2-O atravessador rastreia esse pedido e automaticamente
envia sua propria chave publica para o emissor, barrando
o pedido original, e pede para si a chave publica do
receptor.
3-O emissor, achando que recebeu a chave publica do
receptor, quando na verdade recebeu a chave publica
do atravessador, encripta a mensagem usando a falsa
chave publica e envia a mensagem.
4- O atravessar recebe a mensagem, criptografada com
sua chave publica, e a descriptografa com usa chave
privada, le a informacao e encripta-a novamente usando
a chave publica do receptor, enviando-a em seguida.
Os aplicativos que utilizam-se de chave publica as
armazena localmente e podem detectar qualquer mudanca
em tais chaves, mas se a chave impostora for armazenada
fica quase improvavel que o emissor ou o receptor
descubra que foi enganado. As vezes a farsa eh descoberta,
e o aplicativo exibe uma mensagem, mas por muitas vezes
os usuarios nao ligam e resolvem confiar na nova chave.
6. Assinaturas Digitais
A assinatura digital eh um conceito fundamental na
identificacao de computadores. Eh usada para verificar
a confiabilidade da mensagem transmitida, ou seja, para
nos certificarmos de que a mensagem realmente vem de
onde achamos que ela vem, assim como uma assinatura a mao
num documento certifica que aquele documento foi lido
e aprovado por quem assinou.
Para atribuir confiabilidade a uma assinatura digital,
eh utilizado o seguinte esquema criptografico:
1- Para cada mensagem, temos uma funcao de certificacao,
que relaciona uma assinatura digital para cada mensagem.
Esta funcao eh mantida em sigilo pelo emissor.
2- O emissor tambem fornece uma funcao, de conhecimento
publico, chamada funcao de verificacao, que certifica
se o par (Mensagem,Assinatura) eh verdadeiro ou falso,
ou seja, que verifica se a assinatura corresponde com
a mensagem.
3- O receptor recebe a mensagem e a assinatura, e de
posse da funcao de verificacao, que eh publica, ele
pode verificar se a mensagem eh veridica ou nao.
Assim, a funcao C(m)=a eh a funcao de certificacao,
que atribui uma assinatura 'a' a uma mensagem 'm',
e a funcao V(m,a)=verdadeiro ou falso eh a funcao
de verificacao, que atribui o valor booleano V ou F
a um par m,a de mensagem e assinatura, respectivamente.
A escolha de tais funcoes deve ser cuidadosa, e alem
disso, a funcao de verificacao V(m,a)=b deve ser tal
que seja computacionalmente inviavel descobrir a
tal que b seja verdadeiro, para um dado m.
Um bom exemplo de assinaturas digitais utiliza o
esquema de chave publica (public key). Na criptografia
por chave publica (assimetrica) existem duas chaves,
uma publica, e, que define uma funcao E(mensagem)=cifra
e uma chave privada, d, que define uma funcao
D(cifra)=mensagem.
Em vista desta propriedade, verificamos que E(D(x))=D(E(x))
qualquer que seja x (mensagem ou cifra).
O nosso esquema de assinatura digital parte do principio
que a funcao de certificacao eh a funca D(), de
desencriptacao, e nossa funcao de verificacao eh a funcao
C(), de encriptacao.
Com isso, a assinatura para a mensagem m eh D(m)=a,
e como a funcao E(), gerada pela chave publica 'e', eh
por sua vez publica, uma vez que se verifique E(a)=m,
entao a assinatura realmente eh verdadeira, e a mensagem
partiu de onde ela diz ser originaria.
Para eliminar possibilidades de redundancia (caso em que
a assinatura verdadeira seja enviada e se altere no meio
do caminho, por motivos diversos) entao adiciona-se
uma especie de informacao de verificacao (melhor seria chamarmos
de estrutura de verificacao) a mensagem, e entao pegar a
a assinatura desta mensagem, e enviar apenas a assinatura.
Como exemplo, se temos como mensagem 'm' "UNSEKURITY", podemos
alterar a mensagem, tornando-a "UNSEKURITYUNSEK", bastando
adicionar os 5 primeiros caracteres no fim da mensagem, e
pegando a assinatura 'a' desta nova mensagem. Neste esquema,
apenas a assinatura eh enviada, e a funcao E() eh utilizada
nessa assinatura 'a', gerando uma possivel mensagem 'n', que
soh fara sentido se os 5 primeiros digitos ocorrerem nos 5
ultimos digitos da possivel mensagem 'n'.
Esquematizando:
1-O emissor deseja enviar a mensagem "Thanks, Unsekurity".
Ele entao pode querer adicionar o 1º, 3º e 5º primeiros
caracteres no fim da mensagem, assim a nova mensagem eh
"Thanks, UnsekurityTak".
2-O emissor entao pega a assinatura para esta nova mensagem
modificada, e envia apenas ela para o receptor.
3-O receptor recebe, e de posse da funcao de encriptacao (que
faz o papel da funcao de verificacao), gera uma possivel
mensagem, e verifica se nela, o 1º, 3º e 5º caracteres ocorrem
nos 3 ultimos. Caso isso se verifique, entao a mensagem eh
considerada confiavel.
Este esquema leva vantagem pelo fato do emissor nao estar
enviando a mensagem limpa e seca (sem encriptacao) pelo meio
inseguro, e por ser livre de redundancia (erros de transmissao).
O melhor seria adicionar um 'checksum' ao final da mensagem, de
tamanho fixo, e entao pegar a assinatura de tal mensagem, jah que
adicionar apenas o 1º, 3º e 5º caracteres eh muito pouco para
nos livrar da redundancia.
7. Funcoes hash
Uma funcao hash eh uma funcao que transforma (ou mapeia) uma
string binaria de tamanho variavel em uma string binaria de
tamanho fixo.
Para ser usada em criptografia, a funcao hash deve ser tal que
seja bastante dificil obter dois elementos distintos tais que
suas imagens atraves da funcao hash sejam iguais.
Hashes sao geralmente usadas em assinaturas digitais e para
certificar a integridade de dados. Um exemplo de funcao hash
eh a MD5, bastante utilizado para garantir que um arquivo
foi baixado sem erros (se voce jah abaixou a imagem .iso de
um cd, deve ter visto que quase sempre se acompanha uma soma
md5 da imagem, para fins de verificacao de integridade).
Funcoes hash, no entanto, nao sao reversiveis, ou seja, sao
projetadas para nao admitirem funcoes inversas. Isso as torna
util para armazenamento de senhas em um computador para fins
de autenticacao.
8. Numeros pseudo-aleatorios
A geracao de numeros aleatorios toma um papel importante
em diversos mecanismos criptograficos, como a geracao de
chaves, por exemplo, que deve ser imprevisivel para o atacante.
Existem diversos mecanismos propostos para geracao de chaves
aleatorias, que utilizam horario, data, bytes na memoria,
movimento de mouse, teclado, etc, ou seja, todo tipo de
informacao que possa ser util na geracao de numeros aleatorios
que sao imprevisiveis.
9. Finalizando
Este texto teve como objetivo unico passar os conceitos
basicos sobre criptografia, jah que quem deseja se aprofundar,
tera de estudar uma matematica bem mais avancada, coisas como
teoria dos numeros, algebra abstrata, etc. Acho que foge do
escopo colocar aqui formulas e conceitos matematicos, mas
se eh do seu interesse, vao aqui alguns livros com os quais
voce pode avancar nesse topico:
Sobre criptografia e matematica relacionada a criptografia:
Handbook of Applied Cryptography, de A. Menezes,
P. van Oorschot e S. Vanstone, da CRC Press, 1996.
http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac
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Autor: Dimitri Vashnov
Email: dimitrivashnov@yahoo.com.br
0. Introducao
Tenho buscado ao longo dos anos textos sobre criptografia,
e verifiquei que o assunto ainda eh muito restrito, existem
poucos textos sobre o assunto, principalmente em portugues.
Busquei tambem programas que utilizam criptografia, e o que
tenho verificado eh que os americanos nao desejam que o resto
do mundo adote criptografia (principalmente a forte) ou que
tenhamos sempre uma criptografia mais fraca que a deles. Eh
impressionante como os clientes FTP de hoje em dia ainda
nao adotam criptografia por padrao. Impressionante tambem
eh saber que essa criptografia fraca que usamos eh mesmo que
nada, pois quem possui um supercomputador pode quebra-la
facilmente, alem de existir tecnicas como Man In The Middle,
que poem abaixo um conceito que ateh entao nos enganava.
A solucao eh criarmos nos mesmos, hackers fora do eixo
EUA-CANADA, nossas proprias solucoes em criptografia. Este
texto objetiva isso: ajuda-lo a entender a criptografia,
afinal, hackers tem de se defender contra agentes da matrix.
A leitura deste texto nao exige muito sobre programacao,
jah que o objetivo eh passar a base dos conceitos. Para quem
quer se aprofundar, aprender matematica bem avancada eh muito
importante.
1. Funcoes
Aqui quando nos referimos a funcao, estamos na verdade nos
referindo a uma funcao matematica, definida por 2 conjuntos
e uma regra que associa cada elemento do primeiro conjunto
a algum elemento do segundo. Nosso interesse nao eh dar aqui
o embasamento matematico necessario para a leitura deste
texto, acho que qualquer livro de matematica do 2º grau
explica muito bem este topico. Com isso, podemos analisar
funcoes que podem nos ajudar nessa tarefa de criptografar dados.
1.1 Funcoes 1-way
Funcoes 1-way (via unica) sao aquelas no qual dado x, eh
facil achar f(x)=y, mas que dado y, torna-se razoavelmente
dificil, para os padroes computacionais atuais, obter x
tal que f(x)=y.
Um exemplo de funcao 1-way eh um produto de numeros primos.
Se dado a e b primos, calcular f(a,b)=a*b=c eh facil, mas no
entanto, fatorar c em produtos de primos eh uma tarefa bem
mais dificil. Eh exatamente nesta dificuldade que se baseiam
as criptografias de chave publica.
Funcoes 1-way com chave secreta sao as Funcoes 1-way nas quais
se dado y e for fornecido alguma informacao secreta, torna-se
facil obter x tal que f(x)=y. Seria uma especie de informacao
que torna a 'volta' mais facil. O exemplo acima eh uma funcao
1-way com chave secreta (em ingles chamam de trapdoor 1-way
function, mas resolvi traduzir assim por fazer mais sentido).
1.2. Permutacoes
Uma permutacao eh uma bijecao de um conjunto em si mesmo.
Ex.:
(1,2,3,4,5) -> (4,3,5,1,2)
| | | | '------|-|-|-|-'
| | | '--------|-|-|-'
| | '----------|-|-'
| '------------|-'
'--------------'
p = / 1,2,3,4,5 \
\ 4,3,5,1,2 /
p(1)=4,p(2)=3, ...
Como uma permutacao eh uma bijecao, entao sempre temos
uma permutacao inversa. Isso faz da permutacao uma pessima
opcao de criptografia.
p^-1 = / 1,2,3,4,5 \
\ 4,5,2,1,3 /
3. Conceitos Basicos
Chamaremos de mensagem a informacao que desejamos criptografar,
e mensagem cifrada a mensagem jah criptografada. Utilizaremos
tambem os conceitos de chaves. Uma chave define uma bijecao. Com
isso podemos definir chaves de encriptacao, que gera uma
funcao de criptografia, e chaves de desencriptacao, que geram
funcoes inversas para as funcoes de criptografia. Mas nem
sempre eh do nosso interesse que haja uma chave de desencriptacao.
A criptografia deve satisfazer as necessidades para as quais
venham a ser projetadas. Se nosso objetivo eh, por exemplo,
armazenar um arquivo de senhas num computador, entao devemos
criar uma criptografia que torne a funcao inversa quase
impossivel, ou seja, que permita a encriptacao e a verificacao
das cifras e que nao permita a desencriptacao, e assim soh
forca bruta seria capaz de quebrar tal criptografia.
Se o objetivo, porem, eh criptografar um arquivo de forma que
voce possa ter acesso a mensagem original, entao voce deve
ter algum meio que possa desencriptar a cifra, talvez por
meio de alguma chave de desencriptacao (que deve ser secreta).
Se voce tem acesso a qualquer uma das chaves, ainda assim eh
possivel quebrar a criptografia. Com a chave de encriptacao,
podemos quebrar via forca bruta (ou entao tentar descobrir
a chave de desencriptacao com ela). Com a chave de desencriptacao,
a tarefa torna-se trivial.
Um esquema basico de criptografia simples seria o seguinte:
1- Emissor criptografa a mensagem com uma chave e, de encriptacao.
2- A mensagem cifrada eh enviada pelo meio de comunicacao (inseguro).
3- A mensagem chega ao Receptor, que utiliza sua chave d, de
desencriptacao, e assim le a mensagem.
Se as duas chaves 'e' e 'd' sao iguais, entao a criptografia eh
dita simetrica. Geralmente sao as mais fracas.
Se as duas chaves 'e' e 'd' sao diferentes, entao a criptografia
eh assimetrica.
Um exemplo de assimetria eh a da chave publica. A chave 'e'
eh de conhecimento publico, e a chave 'd' eh privada, de
conhecimento somente do receptor. A chave RSA eh um exemplo disso,
no qual a chave d eh gerada, consistindo de dois (ou mais) numeros
primos imensos (de centenas de digitos) e a chave e eh gerada
pelo produto desses numeros. Como obter d apartir de e eh muito
dificil (ou pelo menos acredita-se e espera-se ser), entao e
eh distribuida.
4. Criptografia Simetrica
Como vimos no topico anterior, a criptografia simetrica baseia-se
apenas numa chave unica, para encriptar e desencriptar. Como as
chaves sao as mesmas, a funcao serah uma bijecao.
Se o objetivo eh encriptar, a chave gera uma bijecao p,
e se o objetivo eh desencriptar, a mesma chave gera uma bijecao
inversa de p, digamos q.
Ex.:
p = / A,B,C,D,E,F,G,L,H,R,S,T,U \
\ F,T,U,A,L,S,R,H,B,E,C,G,D /
Inversa de p = / A,B,C,D,E,F,G,L,H,R,S,T,U \
\ D,H,S,U,R,A,T,E,L,G,F,B,C /
p(UNSEKURITY) = DNCLKDEIGY (criptografando com p)
p(DNCLKDEIGY) = UNSEKURITY (desencriptografando com p^-1)
O problema eh que a chave unica deve ser transmitida por um meio
seguro, e com isso, torna-se inviavel seu uso pela internet, que
eh um meio inseguro de transmissao. O meio mais seguro eh fisicamente,
e mesmo assim, eh facil quebrar uma criptografia de chave simetrica.
Existem 2 tipos de criptografia simetrica a serem estudados aqui:
cifras de bloco e cifras de cadeia.
4.1 Cifragem de Bloco (Block Ciphers)
Neste esquema, a mensagem eh dividida em blocos de tamanho fixo t e
encripta-se um bloco por vez, independentemente dos demais. Eh o
tipo mais famoso de criptografia simetrica. O exemplo anterior,
no qual encriptamos a palavra UNSEKURITY, eh um exemplo. A mensagem
eh dividida em blocos de 8 bytes (caracteres) e cada bloco eh
encriptado individualmente, independente dos demais.
Dentro deste esquema de criptografia, verificamos ainda outros 2
subtipos: cifragem de substituicao e cifragem de transposicao.
Existem tambem cifragens que combinam estes 2 subtipos, gerando um
novo tipo, dito cifragem de produto.
4.1.1. Substituicao
Cifragem de substituicao sao aquelas nos quais fazemos substituicao
de certos simbolos (ocorrencia de certos caracteres, por exemplo)
por outros. Existem 3 metodos de substituicao:
a) Substituicao simples
Eh a substituicao que fazemos atraves de uma permutacao fixa p,
substituindo cada bloco por sua imagem atraves de p. A obtencao
da imagem atraves da cifra eh obtido com a inversa de p, que eh
facil de determinar.
Este tipo de criptografia prova-se inadequada, jah que por mais
dificil seja de obter a chave, uma simples observacao de ocorrencia
de cifras pode nos levar a chave, desde que disponhamos de uma
razoavel quantidade de texto cifrado. Por exemplo, sabendo que a
letra A ocorre em grande quantidade na nossa lingua, podemos ir
decifrando o texto sem grandes dificuldades.
b) Substituicao semi-aleatoria
Nesta substituicao, para cada bloco possivel x, definimos um conjunto
de blocos distintos A(x), e assim substituimos cada bloco x qualquer
por um elemento aleatoriamente escolhido do tal conjunto A(x).
Essa substituicao exige uma funcao injetiva B -> S(C) no qual um
elemento estah associado a um subconjunto de C, e que para quaisquer
dois elementos de B, as suas imagens (subconjuntos de C) sao disjuntos.
(S(C) eh o conjunto dos subconjuntos de C).
Ex.:
Suponha que o alfabeto da nossa mensagem seja composto apenas de vogais.
Assim definimos os conjuntos da seguinte maneira:
a -> { ei, io, eo, au }
e -> { ie, ou, oa, iu }
i -> { uo, ue, ao, oo }
o -> { uu, ae, aa, ia }
u -> { ai, ee, oe, ii }
Com isso nossa mensagem poderia ter varias possiveis cifras:
OIE -> AEAOIU ou UUUOOA
Deve-se frisar que os conjuntos devem ser disjuntos para nao haver
casos em que dois blocos diferentes tenham a mesma cifragem.
Com a substituicao aleatoria, o tamanho da cifra tende a aumentar, e
torna-se mais dificil a desencriptacao por analise de frequencias
de cifras.
c) Substituicao polialfabetica
Uma substituicao polialfabetica com blocos de tamanho t consiste
em criptografar cada bloco de tamanho 1 com uma permutacao distinta.
Com isso, definimos t permutacoes.
Assim, se o bloco eh de tamanho 3, definimos 3 permutacoes distintas.
Se o bloco eh "AAA" por exemplo, cada uma das permutacoes cada A
a uma minicifra distinta.
p1 = / A,E,I,O,U \
\ O,U,A,I,E /
p2 = / A,E,I,O,U \
\ E,O,U,A,I /
p3 = / A,E,I,O,U \
\ U,A,I,E,O /
Assim, o bloco "AAA" eh cifrado em p1(A)p2(A)p3(A) = "OEU".
A vantagem desta cifra sobre a substituicao simples eh que a
frequencia dos blocos nao eh preservada. Porem, isso nao dificulta
muito, jah que se descoberto o tamanho do bloco, as frequencias
dos elementos de mesma ordem num bloco sao preservadas.
4.1.2. Transposicao
A transposicao consiste na simples troca da ordem (ou permuta) de
simbolos em um mesmo bloco.
Ex.: UNSEKURITY -> YTIRUKESNU
Como a transposicao preserva a quantidade de simbolos de um mesmo
tipo, fica facil desencriptar.
4.1.3. Composicao de Cifras
Podemos compor as cifras de substituicao e de transposicao, jah que
cada uma individualmente nao confere muita seguranca a informacao.
Como uma substituicao ou transposicao podem ser postas em forma
matematica como funcoes, uma composicao seria exatamente uma
composicao destas funcoes, o que forneceria uma funcao unica para
criptografia.
Ex.:
Suponhamos novamente que nosso alfabeto seja composto somente de
vogais. Definimos assim a seguinte composicao:
1- Definimos um bloco como de tamanho 3.
2- Realizamos uma substituicao semi aleatoria como definida em 4.1.1 b)
3- Definimos agora o bloco com tamanho 6.
4- Utilizamos de transposicao, trocando o primeiro elemento do bloco
pelo ultimo e vice-versa.
Podemos continuar esse trabalho indefinidamente. A substituicao
adiciona um pouco de confusao e a transposicao adiciona uma difusao.
A confusao torna a relacao entre a mensagem e a mensagem cifrada
mais dificil de ser percebida, enquanto que a difusao se encarrega
de tornar qualquer redundancia da mensagem imperceptivel na
mensagem cifrada (lembra-se de regrinhas como antes de p e b só vem
m e nao n?).
4.2 Cifras em Cadeia (Stream Ciphers)
Cifras em cadeia sao importantes, jah que possibilitam que cada bloco
seja cifrado diferentemente. Os blocos continuam com tamanhos fixos t,
mas a cifragem de um determinado bloco depende da cifragem dos outros.
Ex.:
Consideremos nosso alfabeto outra vez como sendo as vogais, e
definamos uma operacao de acordo com a seguinte tabela:
@|A,E,I,O,U
A|E,I,O,U,A
E|I,O,U,A,E
I|O,U,A,E,I
O|U,A,E,I,O
U|A,E,I,O,U
Assim, A@A=E, I@U=I, E@O=A.
Com isso, definimos a mensagem como sendo "AIAAEUOOIIOEUUE".
Dividindo em blocos de 3, teremos "AIA","AEU","OOI","IOE","UUE".
O esquema seria entao o seguinte:
1- Com o primeiro bloco utilizamos uma substituicao simples,
definida por
p = / A,E,I,O,U \
\ U,O,A,E,I /
Assim, "AIA" -> "UAU"
2- Realizamos uma operacao @ entre UAU e o segundo bloco.
"UAU" @ "AEU" = "AIU". Esta eh a cifra do segundo bloco.
3- Realizamos uma operacao @ entre AIU e o terceiro bloco.
"AIU" @ "OOI" = "UEI". Esta eh a cifra do terceiro bloco.
4- Repetimos as operacoes @ entre a cifra do bloco anterior
e o bloco que queremos cifrar.
No fim, teremos:
"AIA" -> "UAU"
"AEU" -> "AIU"
"OOI" -> "UEI"
"IOE" -> "IAU"
"UUE" -> "IAE"
Dai "AIAAEUOOIIOEUUE" -> "UAUAIUUEIIAUIAE"
Como voce pode ver, este metodo eh bem falho, mas quisemos
apenas ilustrar no que consiste uma cifragem em cadeia.
5. Criptografia Assimetrica de Chave Publica (Public Key)
A criptografia de chave publica consiste num esquema que
se baseia em 2 chaves: uma para encriptar (e) e outra
para desencriptar (d). A chave de encriptacao define uma
funcao f(x) 1-way no qual eh computacionalmente inviavel
dado y, descobrir x tal que f(x)=y. A chave de desencriptacao
define uma funcao que torna facil a tarefa de descobrir
x tal que f(x)=y, dado y. Assim, d eh a informacao
necessaria para tornar a desencriptacao viavel, em curto
espaco de tempo e sem muita demanda de recursos.
A chave e eh tornada de conhecimento publico, enquanto
que a chave d eh privada, ficando de conhecimento apenas
do receptor.
Com isso, uma comunicacao atraves de um canal inseguro
torna-se mais segura. Se voce deseja enviar uma mensagem
para um outro computador, voce pede a ele que forneca
a chave publica, voce entao encripta sua mensagem com
esta chave publica e envia a mensagem cifrada, e quando
tiver recebido tal mensagem cifrada, o computador receptor
desencripta a informacao usando sua chave privada.
Este mecanismo de chave publica, no entanto, apesar de
parecer agradavel, ainda pode ser ineficaz caso um
terceiro computador se passe pelo receptor perante o
emissor e se passe pelo emissor perante o receptor. Este
ataque eh conhecido como 'Man-In-The-Middle', ou
"Atravessador".
O esquema funciona da seguinte maneira:
1-O emissor pede a chave publica do receptor.
2-O atravessador rastreia esse pedido e automaticamente
envia sua propria chave publica para o emissor, barrando
o pedido original, e pede para si a chave publica do
receptor.
3-O emissor, achando que recebeu a chave publica do
receptor, quando na verdade recebeu a chave publica
do atravessador, encripta a mensagem usando a falsa
chave publica e envia a mensagem.
4- O atravessar recebe a mensagem, criptografada com
sua chave publica, e a descriptografa com usa chave
privada, le a informacao e encripta-a novamente usando
a chave publica do receptor, enviando-a em seguida.
Os aplicativos que utilizam-se de chave publica as
armazena localmente e podem detectar qualquer mudanca
em tais chaves, mas se a chave impostora for armazenada
fica quase improvavel que o emissor ou o receptor
descubra que foi enganado. As vezes a farsa eh descoberta,
e o aplicativo exibe uma mensagem, mas por muitas vezes
os usuarios nao ligam e resolvem confiar na nova chave.
6. Assinaturas Digitais
A assinatura digital eh um conceito fundamental na
identificacao de computadores. Eh usada para verificar
a confiabilidade da mensagem transmitida, ou seja, para
nos certificarmos de que a mensagem realmente vem de
onde achamos que ela vem, assim como uma assinatura a mao
num documento certifica que aquele documento foi lido
e aprovado por quem assinou.
Para atribuir confiabilidade a uma assinatura digital,
eh utilizado o seguinte esquema criptografico:
1- Para cada mensagem, temos uma funcao de certificacao,
que relaciona uma assinatura digital para cada mensagem.
Esta funcao eh mantida em sigilo pelo emissor.
2- O emissor tambem fornece uma funcao, de conhecimento
publico, chamada funcao de verificacao, que certifica
se o par (Mensagem,Assinatura) eh verdadeiro ou falso,
ou seja, que verifica se a assinatura corresponde com
a mensagem.
3- O receptor recebe a mensagem e a assinatura, e de
posse da funcao de verificacao, que eh publica, ele
pode verificar se a mensagem eh veridica ou nao.
Assim, a funcao C(m)=a eh a funcao de certificacao,
que atribui uma assinatura 'a' a uma mensagem 'm',
e a funcao V(m,a)=verdadeiro ou falso eh a funcao
de verificacao, que atribui o valor booleano V ou F
a um par m,a de mensagem e assinatura, respectivamente.
A escolha de tais funcoes deve ser cuidadosa, e alem
disso, a funcao de verificacao V(m,a)=b deve ser tal
que seja computacionalmente inviavel descobrir a
tal que b seja verdadeiro, para um dado m.
Um bom exemplo de assinaturas digitais utiliza o
esquema de chave publica (public key). Na criptografia
por chave publica (assimetrica) existem duas chaves,
uma publica, e, que define uma funcao E(mensagem)=cifra
e uma chave privada, d, que define uma funcao
D(cifra)=mensagem.
Em vista desta propriedade, verificamos que E(D(x))=D(E(x))
qualquer que seja x (mensagem ou cifra).
O nosso esquema de assinatura digital parte do principio
que a funcao de certificacao eh a funca D(), de
desencriptacao, e nossa funcao de verificacao eh a funcao
C(), de encriptacao.
Com isso, a assinatura para a mensagem m eh D(m)=a,
e como a funcao E(), gerada pela chave publica 'e', eh
por sua vez publica, uma vez que se verifique E(a)=m,
entao a assinatura realmente eh verdadeira, e a mensagem
partiu de onde ela diz ser originaria.
Para eliminar possibilidades de redundancia (caso em que
a assinatura verdadeira seja enviada e se altere no meio
do caminho, por motivos diversos) entao adiciona-se
uma especie de informacao de verificacao (melhor seria chamarmos
de estrutura de verificacao) a mensagem, e entao pegar a
a assinatura desta mensagem, e enviar apenas a assinatura.
Como exemplo, se temos como mensagem 'm' "UNSEKURITY", podemos
alterar a mensagem, tornando-a "UNSEKURITYUNSEK", bastando
adicionar os 5 primeiros caracteres no fim da mensagem, e
pegando a assinatura 'a' desta nova mensagem. Neste esquema,
apenas a assinatura eh enviada, e a funcao E() eh utilizada
nessa assinatura 'a', gerando uma possivel mensagem 'n', que
soh fara sentido se os 5 primeiros digitos ocorrerem nos 5
ultimos digitos da possivel mensagem 'n'.
Esquematizando:
1-O emissor deseja enviar a mensagem "Thanks, Unsekurity".
Ele entao pode querer adicionar o 1º, 3º e 5º primeiros
caracteres no fim da mensagem, assim a nova mensagem eh
"Thanks, UnsekurityTak".
2-O emissor entao pega a assinatura para esta nova mensagem
modificada, e envia apenas ela para o receptor.
3-O receptor recebe, e de posse da funcao de encriptacao (que
faz o papel da funcao de verificacao), gera uma possivel
mensagem, e verifica se nela, o 1º, 3º e 5º caracteres ocorrem
nos 3 ultimos. Caso isso se verifique, entao a mensagem eh
considerada confiavel.
Este esquema leva vantagem pelo fato do emissor nao estar
enviando a mensagem limpa e seca (sem encriptacao) pelo meio
inseguro, e por ser livre de redundancia (erros de transmissao).
O melhor seria adicionar um 'checksum' ao final da mensagem, de
tamanho fixo, e entao pegar a assinatura de tal mensagem, jah que
adicionar apenas o 1º, 3º e 5º caracteres eh muito pouco para
nos livrar da redundancia.
7. Funcoes hash
Uma funcao hash eh uma funcao que transforma (ou mapeia) uma
string binaria de tamanho variavel em uma string binaria de
tamanho fixo.
Para ser usada em criptografia, a funcao hash deve ser tal que
seja bastante dificil obter dois elementos distintos tais que
suas imagens atraves da funcao hash sejam iguais.
Hashes sao geralmente usadas em assinaturas digitais e para
certificar a integridade de dados. Um exemplo de funcao hash
eh a MD5, bastante utilizado para garantir que um arquivo
foi baixado sem erros (se voce jah abaixou a imagem .iso de
um cd, deve ter visto que quase sempre se acompanha uma soma
md5 da imagem, para fins de verificacao de integridade).
Funcoes hash, no entanto, nao sao reversiveis, ou seja, sao
projetadas para nao admitirem funcoes inversas. Isso as torna
util para armazenamento de senhas em um computador para fins
de autenticacao.
8. Numeros pseudo-aleatorios
A geracao de numeros aleatorios toma um papel importante
em diversos mecanismos criptograficos, como a geracao de
chaves, por exemplo, que deve ser imprevisivel para o atacante.
Existem diversos mecanismos propostos para geracao de chaves
aleatorias, que utilizam horario, data, bytes na memoria,
movimento de mouse, teclado, etc, ou seja, todo tipo de
informacao que possa ser util na geracao de numeros aleatorios
que sao imprevisiveis.
9. Finalizando
Este texto teve como objetivo unico passar os conceitos
basicos sobre criptografia, jah que quem deseja se aprofundar,
tera de estudar uma matematica bem mais avancada, coisas como
teoria dos numeros, algebra abstrata, etc. Acho que foge do
escopo colocar aqui formulas e conceitos matematicos, mas
se eh do seu interesse, vao aqui alguns livros com os quais
voce pode avancar nesse topico:
Sobre criptografia e matematica relacionada a criptografia:
Handbook of Applied Cryptography, de A. Menezes,
P. van Oorschot e S. Vanstone, da CRC Press, 1996.
http://www.cacr.math.uwaterloo.ca/hac
